Не могу сейчас проверить работу этого приложения, поскольку пересел на Mac OS и на Windows возвращаться не планирую.
Обратитесь к автору, можен он что-то подскажет.

Только последняя страница-изображение запоминается, если не ошибаюсь.
Это же для просмотра картинок фишка, по сути, а не для чтения.

А зачем HTML>MOBI?
Если можно в ZIP и листать, как обычную книгу.

Есть: http://kindle.userecho.com/topic/170315-kak-ustanovit-document-reader-na-kindle-paperwhite/

Cool Reader не читает PDF.

Что касается манги, то речь идет, скорее всего, об адаптированных специальных изданиях, которые доставляются из Kindle Store в формате AWZ3/MOBI (KF8).
Попробуйте отправить свой PDF на конвертацию с доставкой через @kindle.com (в теме укажите: Convert).

Изображений много? Оптимизировали их под разрешение и оттенки серого?
Попробуйте создать в директории «linkss» пустой файл «reboot» (без расширения) и перезагрузите ридер.

Пробуйте установить: http://db.tt/NywPOpYb

А в Menu найти Settings можете?
Если да, то после захода туда еще раз нажмите кнопку Menu, а потом выберите Restart.

Обычным (не системным) приложениям, рут не нужен.
Для их установки необходимо в настройках включить разрешение (устанавливать сторонние приложения).
После чего, скачать браузером Kindle Fire нужный APK-файл и открыть/установить его.
Например, для показа AVI-файлов рекомендую MX Player: http://db.tt/ak5NPkgd и кодек для него: http://db.tt/zJoXKkFd